Составляя инвестиционный портфель , инвестор обычно преследует две цели: получить максимальную доходность и одновременно минимизировать риск. Как этого добиться? В первую очередь, грамотно подойти к процессу отбора ценных бумаг для включения в портфель. Также необходимо четко понимать, как рассчитывается доходность каждой отдельно взятой бумаги и портфеля в целом. Именно этой теме и посвящена наша статья.
Расчет доходности бумаги
Расчет доходности по своей сути является проецированием истории изменения цены в будущее. Рассчитаем доходность акций «НОВАТЭК» за период с марта 2015 по октябрь 2016 гг. Что для этого нужно?
- В качестве начальных данных взять цены закрытия месяцев за указанный исторический период.
- Из цены второго периода (апрель 2015-494) вычесть цену первого (март 2015-432), узнав, как изменилась цена за первый период (выросла на 62). Затем нужно разделить эту разность на цену первого периода (432), а частное от деления (0,144) — умножить на 100, чтобы получить процентное изменение между первым и вторым периодами — 14,4%.
- Далее необходимо вычислить среднюю доходность периода — то есть суммировать все результаты доходности (45,3) и разделить на количество взятых периодов (20 месяцев). Таким образом, средняя доходность акций «НОВАТЭК» за период составит 2,4%. Это число — так называемая величина направленного шага доходности.
Доходность — векторная величина, и это позволяет проецировать ее в будущее. Следовательно, можно сделать вывод, что если общая историческая тенденция продолжится (а это более вероятно), то годовая доходность составит 28,6%. Собственно, данная цифра и будет являться искомой доходностью компании.
Рис. 1. Пример расчета доходности акций «НОВАТЭК»
Расчет доходности инвестиционного портфеля
Для расчета доходности инвестиционного портфеля необходимо иметь данные по доходностям входящих в портфель бумаг и их удельным весам, занимаемым в портфеле. Расчетом доходности инвестиционного портфеля (rp) будет являться сумма произведений весов бумаг, входящих в портфель (хi), и их доходностей (ri).
Формула 1 — расчет доходности инвестиционного портфеля
Рассчитаем доходность инвестиционного портфеля, состоящего на 70% из акций «НОВАТЭК» и на 30 % — из акций ФСК ЕЭС. Доходность акций «НОВАТЭК» составляет 28,6%, доходность ФСК ЕЭС — 66,1%. Из этого следует, что доходность указанного портфеля будет равна 28,6*0,7+66,1*0,3, т.е. 39% годовых, исходя из анализа исторического периода с марта 2015 по октябрь 2016 гг.
Рис. 2. Расчет доходности акций «НОВАТЭК» и ФСК ЕЭС
Вывод. Приведенные расчеты показывают, что статистически более верно инвестировать средства в бумаги и портфели, обладающие положительной доходностью. Это, в свою очередь, подтверждает логичность покупок растущих активов — вспомните постулат технического анализа о более вероятном продолжении тенденции по сравнению с ее прекращением.
Конечно, у данной системы расчета доходности есть недостатки: она не может оценить фундаментальные факторы недооцененных компаний. Несмотря на то, что на ценовых графиках подобных активов может появляться резкое возрастание доходности при улучшении общей экономической составляющей, отношение доходность/риск инвестиционного портфеля из подобных бумаг может статистически оказаться не самым лучшим. Для достижения максимальных статистически верных результатов ваших инвестиций следует тщательно анализировать бумаги с точки зрения риска/доходности. Причем фавориты и аутсайдеры рынка периодически меняются, а значит, всегда есть возможность найти те бумаги для инвестирования, которые позволят составлять портфели максимально эффективно.
Предположим, что инвестором проведено предварительное исследование рынка ценных бумаг, проведена оценка ожидаемой доходности г, стандартных отклонений ценных бумаг каждого вида и корреляции с между рассматриваемыми ценными бумагами. Теперь инвестору необходимо сформировать инвестиционный портфель с наибольшей доходностью и наименьшим риском. Для этого необходимо, во-первых, установить связь между ожидаемыми величинами доходности ценных бумаг и ожидаемой доходностью портфеля, составленного из этих бумаг, и, во-вторых, установить связь между стандартными отклонениями портфеля и его компонентов - ценных бумаг; третьим шагом должна стать диверсификация инвестиций, например, по модели Марковица, которая рассмотрена ниже. Однако в качестве подготовки к этому рассмотрению решим более простую задачу - расчет риска и доходности портфеля с уже заданными характеристиками его компонентов, выбранных по каким-либо критериям.
Для иллюстрации процедуры расчетов риска и доходности портфеля рассмотрим гипотетический пример. Пусть инвестиционный портфель инвестора состоит из акций двух компаний А и В со следующими характеристиками, приведенными в табл. 4.2. Требуется рассчитать его ожидаемую доходность и оценить возможный риск инвестиций в эти акции.
Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг рассчитывается как средневзвешенное ожидаемых доходностей составляющих его ценных бумаг. Соответственно ожидаемая доходность портфеля зависит от того, в какой пропорции представлены его компоненты - ценные бумаги того или иного вида. В данном примере инвестор из имеющихся у него 10000 руб. вкладывает 7000 руб. в акции компании А и 3000 руб. в акции компании В (вес акций компаний А и В в портфеле составляет соответственно 70% и 30%). При значениях доходностей 20% и 10% компонентов портфеля средневзвешенная доходность портфеля будет равна 17% :
Для оценки риск а портфеля рассчитаем дисперсию портфеля, а для расчета дисперсии портфеля воспользуемся формулой (4.9):
Расчетное соотношение для дисперсии указывает на одно очень важное свойство: дисперсия портфеля зависит не только от стандартных отклонений доходностей ценных бумаг, но и от ковариации между ними (необходимо заметить, что ковариация обладает свойством симметрии, т.е.: илв ~ авл) . Дисперсия показывает, насколько волатильна доходность ценной бумаги, ковариация же характеризует степень корреляционной связи между доходностями двух бумаг. Положительная зависимость между доходностями ценных бумаг увеличивает дисперсию, и соответственно и риск портфеля. Отрицательная зависимость, наоборот, снижает дисперсию портфеля, что, безусловно, подтверждается практикой функционирования рынка ценных бумаг. Если цены на активы изменяются в одном направлении, то при снижении цен инвестор потеряет гораздо больше, чем, в тех случаях, когда цены одних ценных бумаг падают, а других - растут. Для рассматриваемого случая дисперсия портфеля равна:
Стандартное отклонение портфеля имеет ту же интерпретацию, что и стандартное отклонение ценной бумаги. Стандартное отклонение портфеля - это мера, на основе которой инвестор оценивает вероятное отклонение фактической доходности от ожидаемой, т.е. оценивает риск «отклониться» от ожидаемой доходности - не получить прогнозируемого дохода от реализации ценной бумаги. Средневзвешенная ожидаемая доходность рассматриваемого портфеля составляет 17,0%. При стандартном отклонении в 18,33% ожидаемая доходность портфеля будет находиться в интервале от 35,33% до -1,33% с вероятностью 68% (при нормальном, гауссовом распределении вероятностей).
Еще по теме Пример расчета риска и ожидаемой доходности портфеля из двух ценных бумаг:
- Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности для инвестиционного портфеля, сформированного из более чем двух ценных бумаг
- Доходность и среднее квадратичное отклонение портфеля из двух ценных бумаг
- Пример определения структуры инвестиционного портфеля с минимальным риском и заданной доходностью по модели Марковица
Эффективное управление капиталом предполагает способность менеджера не только рассчитывать фактические показатели по уже совершенным операциям, но и (прежде всего) прогнозировать результаты будущих, планируемых финансовых операций . Ориентиром для такого прогнозирования являются будущие денежные потоки, возникновение которых ожидается от того либо иного способа инвестирования или привлечения капитала. Основными финансовыми инструментами осуществления капиталовложений или получения нового капитала являются ценные бумаги, прежде всего акции и облигации. Умение правильно определять ожидаемую доходность этих инструментов является необходимым условием выработки и обоснования эффективных управленческих решений.
Облигации являются более “предсказуемым” инструментом, так как в большинстве случаев по ним выплачивается фиксированный доход. Это облегчает планирование будущих денежных потоков и расчет ожидаемой доходности облигаций. В самом общем случае владение облигацией может принести два вида дохода – текущий в виде ежегодных купонных выплат и капитализированный, возникающий в результате превышения выкупной стоимости над ценой приобретения инструмента. Облигации, приносящие оба этих дохода называются купонными. По ним могут быть рассчитаны несколько показателей доходности. Одним из них является купонная доходность (ставка) , определяемая отношением величины годового купона к номинальной (нарицательной) стоимости облигации:
Где (5.3.1)
С – сумма годового купона;
N – номинальная стоимость облигации.
Например, по облигации номиналом 5 тыс. рублей предполагается ежегодно выплачивать купонный доход в сумме 1 тыс. рублей. В этом случае купонная ставка составит 20% годовых (1 / 5). Данный показатель очень далек от реальной доходности владения облигацией, так как во-первых, он учитывает только один вид дохода (купонные выплаты), а во-вторых, в знаменателе формулы показываются не фактические начальные инвестиции (цена покупки), а номинал облигации, то есть сумма долга, подлежащая возврату. Купонная ставка объявляется в момент эмиссии облигаций и служит для определения абсолютной суммы купонных выплат в рублях. Например, в объявлении о размещении займа сообщается, что по облигации номиналом 10 тыс. рублей установлена купонная ставка 18%. Это означает, что ежегодно владельцу одной облигации будет выплачиваться купонный доход в сумме 1,8 тыс. рублей (10 * 0,18).
Более приближенным к реальности является показатель текущей доходности , определяемый как отношение годовой купонной выплаты к цене покупки облигации:
где P – цена приобретения облигации (сумма первоначальных инвестиций).
Например, если тысячерублевая облигация с ежегодным купоном 20% была приобретена за 925 рублей, то ее текущая годовая доходность составит 21,62% (200 / 925). Отличие от купонной ставки заключается в более точном учете первоначальных инвестиций. Однако текущей доходности присущ другой недостаток предыдущего показателя – она не отражает капитализированной доходности. Поэтому она также не может использоваться для сравнения эффективности различных инвестиций.
Строго говоря, оба рассмотренных выше показателя обладают еще одним недостатком – они не учитывают влияния на доходность количества купонных выплат в течение года. Как правило, эти выплаты производятся 2 раза в год. Держатель облигации получает возможность реинвестирования суммы купона за первое полугодие. Поэтому выплата по 500 рублей за каждые 6 месяцев выгоднее ему, чем разовая выплата 1000 рублей в конце года. Казалось бы, данное отличие легко учесть, введя в расчеты параметр m – число начислений процентов в году. На практике этого не делается – в числителях формул расчета текущей и купонной доходности отражается общая сумма купонных выплат за год. С одной стороны это позволяет избежать путаницы, а с другой – введение только одного дополнительного параметра не решает всей проблемы. На самом деле неоднократное в течение года перечисление дохода порождает качественно новую задачу: вместо единичной выплаты возникает денежный поток. Поэтому использовать для него формулы начисления процентов на разовые платежи в принципе неверно. Чрезмерное усложнение математического аппарата в данном случае также неоправданно, принимая во внимание приблизительный характер самих показателей.
Наиболее совершенным показателем, в значительной мере свободным от трех названных выше недостатков, является средняя доходность за весь ожидаемый период владения облигацией. Для ее расчета используется качественно иной подход: вычисляется значение доходности к погашению (YTM) по методике, рассмотренной в предыдущем параграфе. Потенциальному инвестору в дополнение к уже известным данным (купон, номинал, цена покупки облигации) необходимо определиться со сроком, в течение которого он намерен владеть инструментом. Если этот период совпадает со сроком самой облигации, то он может рассчитывать на получение в конце срока суммы, равной номиналу. Иначе он должен спрогнозировать цену по которой облигация может быть продана в конце срока владения. В любом случае, проблема определения ожидаемой средней доходности облигации сведется для него к вычислению внутренней нормы доходности порождаемого ею денежного потока. Доход от прироста инвестиций будет отнесен к самой последней выплате в конце срока, то есть полученная величина будет отражать доходность к погашению.
Например, купонная трехлетняя облигация номиналом 3 тыс. рублей продается по курсу 92,5. Один раз в год по ней предусмотрена выплата купона в размере 750 рублей. Для того, чтобы определить YTM этого инструмента, инвестор должен сначала определить цену его покупки, перемножив курс на номинал: 3000 * 0,925 = 2775 рублей. Тогда поток платежей по облигации может быть представлен следующим числовым рядом: -2775, 750, 750, 3750. В соответствии с формулой (5.2.2) доходность к погашению представляет собой решение относительно YTM следующего уравнения:
С помощью функции ВНДОХ на персональном компьютере можно вычислить YTM ≈ 29,08%. В то же время купонная ставка составит лишь 25% (750 / 3000), а текущая доходность облигации ≈ 27,03% (750 / 2775). В случае отсутствия под рукой компьютера или финансовых таблиц, можно применить упрощенную формулу расчета YTM (5.2.3):
Предположим, инвестор не собирается держать облигацию в течение всего срока ее “жизни”. В конце второго года он планирует продать ее за 2990 рублей. В этом случае денежный поток примет следующий вид: -2775, 750, 3740, а исходное уравнение для расчета YTM запишется в форме:
Внутренняя норма доходности этого потока (а следовательно – и YTM облигации) составит в этом случае 30,39%.
Аналогичная ситуация может возникнуть при наличии у эмитента права на досрочный выкуп (отзыв, call) облигации по фиксированной цене. В этом случае рассчитывается показатель доходности на момент отзыва (yield to call, YTC). Методика его расчета проиллюстрирована в предыдущем примере: вместо номинала облигации используется ее отзывная цена, а общий срок “жизни” инструмента заменяется числом лет, оставшихся до даты возможного выкупа. По такому же принципу рассчитывается ожидаемая полная доходность конвертируемых облигаций, которые через определенный период времени могут быть обменены (конвертированы) на обыкновенные акции предприятия-эмитента. Вместо отзывной цены в уравнении используется конверсионная стоимость облигации (P C), равная произведению ожидаемой рыночной цены обыкновенной акции на коэффициент конверсии (k C). Значение коэффициента конверсии устанавливается эмитентом при размещении займа. Спрогнозировать будущую рыночную цену обыкновенной акции, на которую может быть обменена облигация, должен сам инвестор.
В отличие от показателей купонной и текущей доходности, YTM реагирует на изменение числа купонных выплат в течение года. В случае, если это число превышает единицу, необходимо скорректировать ожидаемый денежный поток. Например, вместо одноразовой выплаты 750 рублей в год, эмитент решил выплачивать по 375 рублей каждое полугодие. В этом случае денежный поток будет иметь следующую структуру: -2775, 375, 375, 375, 375, 375, 3375. Соответственно, изменится уравнение для расчета YTM:
Доходность к погашению в этом случае составит ≈ 30,99%.
Безусловно, показатель доходности к погашению не является идеальным. Будучи средней эффективной процентной ставкой, он “заглаживает” возможные колебания доходности в течение периода владения облигацией. Кроме того, он совершенно не учитывает индивидуальные возможности реинвестирования доходов, которые имеются у отдельных инвесторов: эффективная ставка предполагает однократное реинвестирование в течение года. Тем не менее, пока еще не изобретено иного способа подсчета доходности, который в такой же степени чутко реагировал бы на любые изменения ожидаемого денежного потока. Поэтому именно YTM (и его разновидность YTC) получили наиболее широкое применение в финансовом анализе. Не следует забывать, что эти показатели являются ничем иным как разновидностями основополагающего финансового понятия – внутренней нормы доходности (IRR).
Наряду с купонными существуют облигации с нулевым купоном (бескупонные или дисконтные). Доход по ним образуется только за счет разницы между ценой покупки и продажи. Как правило, они продаются со скидкой (дисконтом) от номинальной цены, а выкупаются по номиналу. К этим инструментам вообще неприменимы понятия купонной и текущей доходности: их полная доходность включает в себя только вторую составляющую – прирост стоимости капитала. Методика расчета доходности краткосрочных дисконтных облигаций (например, ГКО) уже неоднократно рассматривалась в настоящем пособии, поэтому в данном параграфе будут рассмотрены только долгосрочные (с продолжительностью свыше 1 года) финансовые инструменты. Очевидно, что измерителем доходности таких инвестиций должна являться сложная процентная ставка. Рассмотрим пример: двухлетняя дисконтная облигация номиналом 10 тыс. рублей продается по курсу 78. Следовательно, общая сумма дохода к концу второго года по ней составит 2 тыс. 200 рублей (10000 – 7800). Доходность к погашению этой облигации может быть найдена из уравнения:
По сути дела, задача сводится к определению сложной эффективной годовой ставки по формуле (2.2.15). Применив эту формулу, получим YTM = 13,228% ((10000 / 7800) 1/2 – 1). Иными словами, разместив на банковский депозит 7800 рублей под эффективную ставку 13,228%, через 2 года с него можно было бы снять наращенную сумму 10 тыс. рублей (7800 * (1 + 0,13228) 2). Точно такой же результат можно получить, применив компьютерную функцию ВНДОХ для денежного потока (-7800, 0, 10000). Однако в данном случае задача проще, чем при расчете YTM купонных облигаций, поэтому нет необходимости для усложнения расчетов: достаточно помнить формулу определения эффективной ставки (2.2.15).
Ожидаемая доходность бессрочных облигаций , по которым выплачиваются “вечные” ренты, рассчитывается по формуле:
Где (5.3.3)
C – сумма ежегодных купонных выплат;
P – цена приобретения облигации.
Очевидно, что этот показатель отражает только текущую доходность, так как условиями размещения подобных займов не предусматривается выплата каких-то иных доходов. Тем не менее, никто не мешает инвестору запланировать перепродажу облигации через несколько лет владения ею по цене, которая может отличаться от цены покупки. В этом случае он сможет рассчитать доходность к погашению данного инструмента. Например, покупая за 46 фунтов стерлингов бессрочную консоль Казначейства Великобритании, по которой ежегодно выплачивается доход в сумме 4 фунта стерлингов, инвестор может рассчитывать на годовую доходность 8,696% (4 / 46). Однако, если по его “расчислению” через два года он сможет продать эту облигацию на вторичном рынке за 50 фунтов, то ее доходность к погашению (точнее, к перепродаже) должна находиться путем решения следующего уравнения:
irr (а следовательно, и доходность к погашению облигации) данного денежного потока составит ≈ 12,78%. Применив приближенную формулу расчета (5.2.3), получим:
Основное отличие акций состоит в неопределенности величины ожидаемых по ним доходов. В этом смысле можно выделить привилегированные акции , дивиденды по которым, как правило, известны заранее и должны выплачиваться раньше дивидендов по обыкновенным акциям. По сути дела привилегированные акции являются промежуточной стадией между собственным (обыкновенные акции) и заемным (облигации) капиталом. Для определения их доходности используется формула, аналогичная применяемой для бессрочных облигаций:
Где (5.3.4)
div – сумма ожидаемых дивидендов на 1 акцию,
P – цена приобретения акции.
Точно так же, как для бессрочных облигаций, в случае планируемой перепродажи акции на вторичном рынке, полная доходность владения ею может быть определена как YTM.
Для обыкновенных акций прогнозирование величины будущих дивидендов является наиболее важной и самой сложной проблемой. Чаще всего при этом используется модель постоянного роста (модель Гордона), предполагающая неизменный в обозримом будущем темп прироста суммы дивидендов, выплачиваемы по акции. Ожидаемая доходность владения акцией в этом случае будет находиться по следующей формуле:
, где (5.3.5)
P – цена покупки акции;
D 0 – последний выплаченный дивиденд по акции;
D 1 – дивиденд, ожидаемый к выплате в ближайшем периоде в будущем;
g – ожидаемый темп прироста дивиденда в будущем.
Например, на рынке имеется предложение обыкновенных акций по цене 250 рублей за 1 шт. Известно, что в прошлом году по ним был выплачен дивиденд в сумме 30 рублей на 1 акцию. В дальнейшем ожидается непрерывный рост дивиденда на 2% в год. Ожидаемая доходность акции составит:
Абсолютно все формулы, рассмотренные в данном параграфе, строились на предположении об определенности потоков будущих доходов, выплачиваемых владельцам ценных бумаг. Однако в реальности 100%-й определенности практически никогда не существует. Даже самые надежные инструменты (например, правительственные облигации) несут в себе опасность того, что фактический результат может значительно отличаться от ожидаемого: высокая инфляция может “съесть” весь фиксированный доход по облигации, несмотря на четкое выполнение эмитентом своих номинальных обязательств. Следовательно, во всех финансовых расчетах должен присутствовать еще один важнейший параметр (о котором практически ничего не было сказано в предыдущих параграфах), характеризующий меру неопределенности, сопряженную с возможностью получения ожидаемого дохода. В финансах эта неопределенность обозначается термином риск , отражающим вероятность получения результата, отличающегося от запланированного. Так как важнейшим результатом любой финансовой операции является получение дохода на инвестиции, величина риска отождествляется со степенью разброса фактической доходности операции вокруг ее ожидаемой величины. Чем больше разброс данных, тем рискованнее финансовая операция.
Возвращаясь к рассмотренным выше формулам, можно сказать, что все полученные с их помощью результаты являются не более, чем субъективными оценками. Каждому результату должна быть приписана вероятность его возникновения в будущем. Большинство из них предполагает наличие вариантов, то есть множественность исходов. Поэтому от прогнозирования однозначных цифр необходимо перейти к изучению распределения вероятностей того или иного события. Без этого заучивание рассмотренных формул становится бессмысленным занятием, а попытки их практического применения обернутся существенным материальным ущербом для инвестора.
В настоящей главе рассматриваются вопросы, связанные с расче-
том ожидаемой доходности и риска портфеля финансовых инстру-
ментов. Вначале мы остановимся на определении ожидаемой доход-
ности портфеля, после этого перейдем к определению ожидаемого
риска. Раскрывая последний вопрос, последовательно рассмотрим
риск портфеля, состоящего из двух активов для различных вариантов
корреляции их доходности, и риск портфеля, в который входит
несколько активов. В заключение приведем определение эффективной
границы, кредитного и заемного портфелей.
Портфель - это набор финансовых активов, которыми располага-
ет инвестор. В него могут входить как инструменты одного вида, на-
пример, акции или облигации, или разные активы: ценные бумаги,
производные финансовые инструменты, недвижимость. Главная цель
формирования портфеля состоит в стремлении получить требуемый
уровень ожидаемой доходности при более низком уровне ожидаемого
риска. Данная цель достигается, во-первых, за счет диверсификации
портфеля, т. е. распределения средств инвестора между различными
активами, и, во-вторых, тщательного подбора финансовых инстру-
ментов. В теории и практике управления портфелем существуют два
подхода: традиционный и современный. Традиционный основывает-
ся на фундаментальном и техническом анализе. Он делает акцент на
широкую диверсификацию ценных бумаг по отраслям. В основном
приобретаются бумаги известных компаний, имеющих хорошие про-
изводственные и финансовые показатели. Кроме того, учитывается
их более высокая ликвидность, возможность приобретать и прода-
вать в больших количествах и экономить на комиссионных.
Развитие широкого и эффективного рынка, статистической базы,
а также быстрый прогресс в области вычислительной техники приве-
ли к возникновению современной теории и практики управления
портфелем финансовых инструментов. Она основана на использова-
нии статистических и математических методов подбора финансовых
инструментов в портфель, а также на ряде новых концептуальных
подходов.
Главными параметрами при управлении портфелем, которые не-
обходимо определить менеджеру, являются его ожидаемая доход-
ность и риск. Формируя портфель, менеджер не может точно опреде-
лить будущую динамику его доходности и риска. Поэтому свой
инвестиционный выбор он строит на ожидаемых значениях доход-
ности и риска. Данные величины оцениваются, в первую очередь, на
основе статистических отчетов за предыдущие периоды времени. По-
скольку будущее вряд ли повторит прошлое со стопроцентной веро-
ятностью, то полученные оценки менеджер может корректировать со-
гласно своим ожиданиям развития будущей конъюнктуры.
Рассмотрим, каким образом рассчитываются отмеченные параметры.
13. 1. ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ ПОРТФЕЛЯ
Портфель, формируемый инвестором, состоит из нескольких ак-
тивов, каждый из которых обладает своей ожидаемой доходностью.
Каким окажется значение ожидаемой доходности портфеля в резуль-
тате их объединения? Ожидаемая доходность портфеля определяется
как средневзвешенная ожидаемая доходность входящих в него акти-
вов, а именно:
где: Е(rр) - ожидаемая доходность портфеля;
Е(r1); Е(r2); Е(rn) - ожидаемая доходность соответственно перво-
го, второго и n-го активов;
θ1; θ2; θn - удельный вес в портфеле первого, второго и n-го акти-
Запишем формулу (148) в более компактном виде, воспользовав-
шись знаком суммы, тогда:
(149)
Удельный вес актива в портфеле рассчитывается как отношение
его стоимости к стоимости всего портфеля или:
где: θi-удельный вес i-го актива;
pi - стоимость i-го актива;
рр - стоимость портфеля.
Сумма всех удельных весов, входящих в портфель активов, всегда
равна единице.
Портфель состоит из двух активов А и В. е(rа) = 15%, Е(rB) = 10%.
Стоимость актива А - 300 тыс. руб., актива В - 700 тыс. руб. Необ-
ходимо определить ожидаемую доходность портфеля.
Стоимость портфеля равна:
Инвестор воспользуется формулой (149) для определения ожидае-
мой доходности портфеля на основе ожидаемой доходности активов.
Чтобы решить данную задачу, он должен вначале вычислить ожи-
даемую доходность каждого актива в отдельности. Для этого можно
использовать следующий прием. Допустим, в условиях неопределен-
ности менеджер полагает, что рискованный актив, например, акция,
может принести ему различные результаты, о которых в момент фор-
мирования портфеля можно судить только с некоторой долей вероят-
ности, как представлено в табл. 6.
Таблица 6. Доходность акции с учетом вероятности
|
Доходность (%) |
Вероятность (%) |
В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100%
вероятности, как и показано в табл. 6. Ожидаемая доходность актива
определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами вы-
ступают вероятности каждого исхода события.
В нашем случае ожидаемая доходность равна:
(В формуле ожидаемой доходности значения вероятности берут в де-
сятичных величинах, и соответственно вероятность всех возможных
вариантов событий равна единице.)
Запишем формулу определения ожидаемой доходности актива в
общем виде:
(151)
где: Е(r) - ожидаемая доходность актива;
E(ri) - ожидаемая доходность актива в i-м случае;
πi - вероятность получения доходности в i-м случае.
13. 2. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК АКТИВА
Приобретая какой-либо актив, инвестор ориентируется не только
на значение его ожидаемой доходности, но и на уровень его риска.
Ожидаемая доходность выступает как некоторая величина, которую
надеется получить инвестор, например 15%. Возможность получения
данного результата подтверждается предыдущей динамикой доход-
ности актива. Однако 15% - это только средняя величина. На прак-
тике доходность, которую получит инвестор, может оказаться как
равной, так и отличной от 15%. Таким образом, риск инвестора со-
стоит в том, что он может получить результат, отличный от ожидае-
мой доходности. Строго говоря, риск вкладчика заключается в том,
что он получит худший, чем ожидаемый результат, т. е. его доход-
ность составит менее 15%. Если фактическая доходность окажется
больше 15%, то это плюс для инвестора. На практике в качестве меры
риска используют показатели дисперсии и стандартного отклонения.
Они показывают, в какой степени и с какой вероятностью фактиче-
ская доходность актива может отличаться от величины его ожидае-
мой доходности, то есть средней доходности. Данные параметры
учитывают отклонения как в сторону увеличения, так и уменьшения
доходности по сравнению с ожидаемым значением. Как мы отметили
выше, фактический риск состоит в том, что фактическая доходность
окажется ниже ожидаемой, однако отмеченные параметры использу-
ются в качестве меры риска, в первую очередь, в силу простоты их
определения. Дисперсия определяется по формуле
(152)
где: σ2 - дисперсия доходности актива;
n - число периодов наблюдения;
r- средняя доходность актива; она определяется как средняя
арифметическая доходностей актива за периоды наблюдения, а имен-
где: ri - доходность актива в i-м периоде.
Стандартное отклонение определяется как квадратный корень из
дисперсии
где: σ- стандартное отклонение доходности актива.
Пример определения риска актива.
Допустим, что доходность актива в каждом году за пятилетний
период составила следующие значения: 1-й год - 20%. 2-й год -
25%, 3-й год - 18%, 4-й год - 21 %, 5-й год - 19%.
1-й шаг. Определяем среднюю доходность актива за пятилетний
2-й шаг. Определяем отклонение величины доходности в каждом
периоде от ее среднего значения.
20%-20,6% = -0,6%
25%-20,6% = 4,4%
18%-20,6% = -2,6%
21%-20,6% = 0,4%
19%-20,6% = -1,6%
3-й шаг. Возводим в квадрат полученные отклонения и суммируем
4-й шаг. Определяем дисперсию.
(Если имеется небольшое число наблюдений, как в нашем примере, то
по правилам статистики в формуле определения дисперсии (152) в
знаменателе вместо п - 1 берут просто значение п.)
5-й шаг. Определяем стандартное отклонение.
Стандартное отклонение говорит о величине и вероятности от-
клонения доходности актива от ее средней величины за определенный
период времени. В нашем примере мы получили отклонение доход-
ности актива за год, равное 2, 41%.
Доходность актива в том или ином году - это случайная величи-
на. Массовые случайные процессы подчиняются закону нормального
распределения. Поэтому с вероятностью 68, 3% можно ожидать, что
через год доходность актива будет лежать в пределах одного стан-
дартного отклонения от средней доходности, т. е. в диапазоне 20, 6% ±
2, 41%; с вероятностью 95, 5% этот диапазон составит два стандартных
отклонения, т. е. 20, 6% ± 2 х 2, 41%; и с вероятностью 99, 7% диапазон
составит три стандартных отклонения, то есть 20, 6% ± 3 х 2, 41%.
Поскольку доходность актива - случайная величина, которая за-
висит от различных факторов, то остается 0, 3% вероятности, что она
выйдет за рамки трех стандартных отклонений, т. е. может как упасть
до нуля, так и вырасти до очень большой величины.
График нормального распределения представлен на рис. 34. Чем
больше стандартное отклонение доходности актива, тем больше его
риск. Например, два актива имеют одинаковую ожидаемую доход-
ность, которая равна 50%. Однако стандартное отклонение первого
актива составляет 5%, а второго - 10%. Это говорит о том, что вто-
рой актив рискованнее первого, так как существует 68, 3% вероят-
ности, что через год доходность первого актива может составить от
45% до 55%, а второго - от 40% до 60% и т. д.
13. 3. ОЖИДАЕМЫЙ РИСК ПОРТФЕЛЯ
Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стан-
дартных отклонений (дисперсий) входящих в него активов. Однако в
отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не является
обязательно средневзвешенной величиной стандартных отклонений
(дисперсий) доходностей активов. Дело в том, что различные активы
могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В
результате стандартные отклонения (дисперсии) доходности различ-
ных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к
снижению риска портфеля. Риск портфеля зависит от того, в каком
направлении изменяются доходности входящих в него активов при
изменении конъюнктуры рынка и в какой степени.
Для определения степени взаимосвязи и направления изменения
доходностей двух активов используют такие показатели как кова-
риация и коэффициент корреляции.
Показатель ковариации определяется по формуле
(155)
где: covaa, b - ковариация доходности активов А и В;
Средняя доходность актива А за n периодов;
Средняя доходность актива В за n периодов;
rA - доходность актива А в i-м периоде;
rB - доходность актива В в i-м периоде;
п - число периодов, за которые регистрировалась доходность ак-
тивов А и В.
Положительное значение ковариации говорит о том, что доход-
ности активов изменяются в одном направлении, отрицательное - в
обратном. Нулевое значение ковариации означает, что взаимосвязь
между доходностями активов отсутствует.
В табл. 7 приведены данные о доходности бумаг А и В за четыре
года. Определим ковариацию доходности данных бумаг.
Таблица 7. Доходность бумаг А и В (в десятичных значениях)
|
Доходность А |
Доходность В |
|
1 шаг. Определяем средние значения доходностей бумаг за указан-
ный период.
2 шаг. Определяем отклонения доходности бумаг от их средних
значений.
|
0,1 - 0,1425 = -0,0425 |
0,12 -0,1475 = -0,0275 |
|
0,16-0,1425 = 0,0175 |
0,18-0,1475 = 0,0325 |
|
0,14-0,1425 = -0,0025 |
0,14 -0,1475 = -0,0075 |
|
0,17-0,1425 = 0,0275 |
0,15-0,1475 = 0,0025 |
3 шаг. Определяем произведения отклонений доходности бумаг
для каждого периода и суммируем полученные значения.
|
0,0275 = 0,0011686 |
|
|
0,0325 = 0,0005688 |
|
|
0,0075 = 0,0000186 |
|
|
0,0025= 0,0018248 |
|
|
сумма =0,0018248 |
4 шаг. Определяем значение ковариации, разделив полученную
сумму на число временных периодов. (Так как в нашем примере не-
большое количество наблюдений, то в знаменателе вместо п - 1 бе-
рем значение п).
Другим показателем степени взаимосвязи изменения доходностей
двух активов служит коэффициент корреляции. Он рассчитывается по
(156)
где: Соrr а, в - коэффициент корреляции доходности активов А и В;
Сov a, b - ковариация доходности активов А и В;
σA - стандартное отклонение доходности актива А;
σB - стандартное отклонение доходности актива В.
Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до +1. По-
ложительное значение коэффициента говорит о том, что доходности
активов изменяются в одном направлении при изменении конъюнк-
туры, отрицательное - в противоположном. При нулевом значении
коэффициента корреляция между доходностями активов отсутствует.
13. 4. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ ДВУХ
Риск портфеля, состоящего из двух активов, рассчитывается по
где: σр2 - риск(дисперсия) портфеля;
θA - уд. вес актива А в портфеле;
θB - уд. вес актива В в портфеле;
сova, b - ковариация доходности активов А и В.
Определить риск портфеля, состоящего из бумаг А и В, если θA =
0, 3; θB = 0, 7; σA2 = 0, 0007188; σB2 = 0, 0004688; cova, b = 0, 0004562.
Риск портфеля равен:
σР2 = 0,3 0,0007188+0,7 0,0004688+2 0,3 0,7 0,0004562 = 0,000468
σP = 0,021633 или 2,163%
Выше мы записали, что.
Поэтому формулу (157)
можно переписать, воспользовавшись коэффициентом корреляции, а
13. 4. 1. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности +1
При корреляции +1 переменные находятся в прямой функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой прямую
линию, как показано на рис. 35, т. е. для каждого события (изменения
в конъюнктуре рынка) доходности двух активов будут иметь одну
общую точку на восходящей прямой. Для такого случая формула
(158) превращается в формулу квадрата суммы, так как сorrа, в = 1
(160)
Таким образом, если доходности активов имеют корреляцию +1,
то риск портфеля - это средневзвешенный риск входящих в него ак-
тивов. Объединение таких активов в один портфель не позволяет
воспользоваться возможностями диверсификации для снижения рис-
ка, поскольку при изменении конъюнктуры их доходности будут из-
меняться в прямой зависимости в одном и том же направлении, как
показано на рис. 36. В этом случае диверсификация не приводит к со-
кращению риска, а только усредняет его. Изменяя удельный вес акти-
вов А и В в портфеле, инвестор может сформировать любой порт-
фель, который бы располагался на прямой АВ (см. рис. 37).
13. 4. 2. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
корреляцией доходности -1
При корреляции -1 переменные находятся в обратной функцио-
нальной зависимости. Графически она представляет собой нисходя-
щую прямую линию, как показано на рис. 38. Для такого случая
формула (158) превращается в формулу квадрата разности:
(162)
Объединение в портфель активов с корреляцией -1 позволяет
уменьшить его риск по сравнению с риском каждого отдельного ак-
тива, поскольку, как показано на рис. 39, при изменении конъюнкту-
ры разнонаправленные движения доходности активов А и В будут га-
сить друг друга. При этом ожидаемая доходность портфеля останется
неизменной и будет зависеть от ожидаемой доходности каждого ак-
тива и его удельного веса в портфеле. Сочетая в портфеле активы А и
В в различных пропорциях, инвестор имеет возможность, с точки
зрения риска и доходности, сформировать любой портфель, который
будет лежать на прямых АС и СВ, как показано на рис. 40. В точке С
портфель инвестора не будет иметь риска. Чтобы сформировать та-
кой портфель, необходимо найти соответствующие удельные веса ак-
тивов А и В. Для этого приравняем уравнение (162) к нулю и опреде-
лим θA и θв.
Поскольку
(164)
σa = 0,0268; σв = 0,0350. Тогда:
Это означает, что если вкладчик планирует инвестировать 100
млн. руб. в активы А и В, то для формирования портфеля без риска
ему необходимо приобрести актив А на сумму
и актив В на
13. 4. 3. Доминирующий портфель
Корреляция между доходностями двух финансовых инструментов
в портфеле может изменяться от -1 до +1. На рис. 41 все возможные
комбинации портфелей, состоящих из двух активов с корреляцией -1,
располагаются на прямых АС и СВ. Все комбинации портфелей для
корреляции +1 - на прямой АВ. Комбинации портфелей для других
значений корреляции доходности располагаются внутри треугольни-
ка ABC. Таким образом, пространство треугольника ABC представ-
ляет собой все возможные сочетания риска и доходности портфелей,
состоящих из двух активов, в пределах корреляции их доходности от
В то же время на практике подавляющая часть активов имеет кор-
реляцию отличную от -1 и +1, и большинство активов имеют поло-
жительную корреляцию. Если построить график для портфелей, со-
стоящих из активов А и В при меньшей корреляции, чем +1, то он
примет выпуклый вид, как показано на рис. 42 сплошной линией.
Чем меньше корреляция между доходностью активов, тем более
выпуклой будет график. На рис. 43 линия 1 представляет меньшую
корреляцию доходности активов А и В по сравнению с линией 2. Как
видно из рис. 43, чем меньше корреляция доходности активов, тем
более они привлекательны для формирования портфеля, поскольку
инвестор может получить тот же уровень ожидаемой доходности при
меньшем риске. Так, портфель P1 на рис. 43 предлагает то же значе-
ние ожидаемой доходности r1, что и P2, однако его риск меньше и ра-
вен σ1, а второго портфеля - σ2.
Как показано на рис. 44, если активы имеют корреляцию меньше
1, то инвестор может сформировать любой портфель, который бы
располагался на кривой ADB. Однако рациональный инвестор оста-
новит свой выбор только на верхней части данной кривой, а именно,
отрезке DB, поскольку на нем расположены портфели, которые при-
носят более высокий уровень ожидаемой доходности при том же
риске по сравнению с портфелями на участке DA. Сравним для на-
глядности портфели P1 и P2. Оба портфеля имеют риск равный σ1, но
ожидаемая доходность портфеля P2 больше ожидаемой доходности
портфеля P1.
Если один портфель (актив) имеет более высокий уровень доход-
ности при том же уровне риска или более низкий риск при той же до-
ходности, чем остальные портфели (активы), то его называют доми-
нирующим. Так, на рис. 44 портфель P2 будет доминирующим по
отношению к портфелю P1, поскольку оба они имеют одинаковый
риск (σ1), но доходность портфеля P2 (r2) больше доходности портфе-
ля P1 (r1). Аналогично портфель P2 будет доминирующим по отноше-
нию к портфелю Р3, поскольку они оба имеют одинаковую доход-
ность (r1), но риск портфеля P2 (σ2) меньше риска портфеля Р3 (σ3). В
то же время, если сравнить портфели P1 и P4, то мы не можем сказать,
что какой-нибудь из них является доминирующим по отношению к
другому, поскольку они имеют разные значения как ожидаемой до-
ходности, так и риска. Портфель P4 имеет как более высокую ожи-
даемую доходность, так и более высокий риск по сравнению с порт-
Рациональный инвестор всегда сделает выбор в пользу домини-
рующего портфеля, поскольку это наилучший выбор с точки зрения
доходности и риска для всех возможных альтернативных вариантов
других портфелей.
Если инвестор формирует портфель из двух активов, А и В, как
показано на рис. 44, то в точке D он может получить для сочетания
данных активов портфель с наименьшим уровнем риска. Чтобы его
сформировать, необходимо найти удельные веса в портфеле активов
А и В. Это можно сделать, продифференцировав уравнение (164) по
θа и приравняв ее к нулю при условии, что
(165)
(166)
13. 4. 4. Риск портфеля, состоящего из двух активов с
некоррелируемыми доходностями
Доходности двух активов не имеют корреляции, если графически
их нельзя представить с той или иной степенью приближения в виде
восходящей или нисходящей прямой линии. Такой случай изображен
на рис. 45. В этой ситуации коэффициент корреляции равен нулю и
формула (158) принимает вид:
σа = σв = 0, 2; θA = θв = 0, 5. Риск портфеля равен:
Как видно из формулы (167) и приведенного примера, объедине-
ние в портфель активов с некоррелируемыми доходностями позволя-
ет воспользоваться преимуществами диверсификации для снижения
При отсутствии корреляции доходностей двух активов можно
найти портфель с минимальным уровнем риска, если продифферен-
цировать уравнение (167) по θA и приравнять его к нулю при условии,
что θв = 1 - θA
(168)
(169)
Для того, чтобы лучше представить идею и эффект диверсифика-
ции портфеля при различной корреляции доходностей входящих в
него активов, мы рассмотрели риск портфеля, состоящего только из
двух активов. Общие выводы, которые можно сделать по результа-
там вышесказанного, состоят в следующем:
1) Если в портфель объединяются активы с корреляцией +1, то до-
стигается только усреднение, а не уменьшение риска;
2) Если в портфель объединяются активы с корреляцией меньше,
чем +1, то его риск уменьшается. Уменьшение риска портфеля дости-
гается при сохранении неизменного значения ожидаемой доходности:
3) Чем меньше корреляция доходности активов, тем меньше риск
портфеля;
4) Если в портфель объединяются активы с корреляцией -1, то
можно сформировать портфель без риска;
5) При формировании портфеля необходимо стремиться объеди-
нить в него активы с наименьшей корреляцией.
13. 5. РИСК ПОРТФЕЛЯ, СОСТОЯЩЕГО ИЗ
НЕСКОЛЬКИХ АКТИВОВ
Выше мы рассмотрели портфель, состоящий из двух активов, и
сделали общие выводы относительно его формирования. Они верны
и для портфеля, объединяющего большее количество активов.
Рассмотрим, каким образом определяется риск портфеля, состоя-
щего из нескольких активов. Он рассчитывается по формуле
(170)
где: σр2 - риск портфеля;
θi - уд. вес i-гo актива в портфеле;
θj - УД- вес j-гo актива в портфеле;
Covi, j - ковариация доходности i-го и j-гo активов.
Для того, чтобы проиллюстрировать использование данной фор-
мулы, рассчитаем риск портфеля, состоящего из трех активов.
Портфель состоит из трех бумаг - А, В и С; θA = 035; θв = 0, 45;
θс= 0, 2; σA2 = 0, 025; σв2 = 0, 048; σс2 = 0, 065; cova, b = 0, 031; cova, c =
0, 034; covb, a = 0, 031; covb, c = 0, 055; covc, a = 0, 034; covc, b= 0, 055.
Для наглядности сведем данные о дисперсии и ковариации бумаг в
Таблица 7. Ковариационная матрица
Ковариационная матрица характеризуется тем, что ее диагональ-
ные члены являются дисперсиями случайных величин. В нашем слу-
чае это позиции АА, ВВ, СС. Остальные члены представляют собой
ковариации доходностей активов.
В формуле (170) стоит знак двойной суммы Он означает,
что, раскрывая формулу, мы должны вначале взять значение i = 1 и
умножить на него все значения j от 1 до п. Затем повторить данную
операцию, но уже для i = 2 и т. д. В итоге мы получим п слагаемых.
Расчеты по нашему примеру представлены в табл. 8.
Таблица 8. Определение дисперсии и стандартного отклонения.
|
Произведения |
|
|
0,35´ 0,35´ 0,025 = 0,00306 |
|
|
0,35´ 0,45´ 0,031 =0,00488 |
|
|
0,35´ 0,2´ 0,034 = 0,00238 |
|
|
0,45´ 0,35´ 0,031 =0,00488 |
|
|
0,45´ 0,45´ 0,048 = 0,00972 |
|
|
0,45´ 0,2´ 0,055 = 0,00495 |
|
|
0,2´ 0,35´ 0,034 = 0,00238 |
|
|
0,2´ 0,45´ 0,055 = 0,00495 |
|
|
0,2´ 0,2´ 0,065 = 0,00260 |
|
Как уже отмечалось выше, для портфеля, состоящего из двух ак-
тивов с корреляцией доходности +1, риск представляет собой средне-
взвешенный риск входящих в него активов. Поэтому для такого слу-
чая не наблюдается уменьшение риска, а происходит только его
усреднение. Данный принцип сохраняется и для портфеля, насчиты-
вающего много активов с корреляцией доходности +1. Если портфель
состоит из активов с корреляцией равной нулю, то риск портфеля
рассчитывается по формуле
(171)
(172)
9 Буренин А. Н. 257
13. 6. ЭФФЕКТИВНЫЙ НАБОР ПОРТФЕЛЕЙ
Если объединить в портфель некоторое число активов, корреля-
ция доходности которых лежит в диапазоне от -1 до +1, то, в зависи-
мости от их удельных весов, можно построить множество портфелей
с различными параметрами риска и доходности, которые расположе-
ны в рамках фигуры ABCDE, как показано на рис. 46.
Рациональный инвестор будет стремиться минимизировать свой
риск и увеличить доходность. Поэтому всем возможным портфелям,
представленным на рис. 46, вкладчик предпочтет только те, которые
расположены на отрезке ВС, поскольку они являются доминирую-
щими по отношению к портфелям с тем же уровнем риска или с той
же доходностью. Набор портфелей на отрезке ВС называют эффек-
тивным набором. Эффективный набор портфелей - это набор, со-
стоящий из доминирующих портфелей. Набор портфелей на участке
ВС называют еще эффективной границей. Она открыта Г. Марковцем
в 50-х гг. Чтобы определить данную границу, необходимо рассчитать
соответствующие удельные веса, входящих в портфель активов, при
которых минимизируется значение стандартного отклонения для
каждого данного уровня доходности, т. е. решить уравнение:
(173)
при условии, что
Другими словами, с помощью компьютерной программы необхо-
димо для каждого значения ожидаемой доходности портфеля опреде-
лить наименьший риск портфеля. Данный метод называется методам
Марковца. Неудобство его состоит в том, что при определения эф-
фективной границы для портфеля, включающего много активов, не-
обходимо произвести большое количество вычислений. Если порт-
фель состоит из п активов, то следует определить п ожидаемых
доходностей и стандартных отклонений иковариаций.
В результате для определения эффективной границы следует рас-
персий и ковариаций. Так, если мы определяем эффективную границу
для портфеля из 5 активов, то необходимо получить 20 исходных
данных, для 10 активов - уже 65, для 20 активов - 230, а для 30 ак-
тивов - 495 данных и т. д. Таким образом, большое количество вы-
числений делает модель Марковца не очень удобной для решения за-
дачи определения эффективной границы. Эта проблема в более
простой форме решена в моделе У. Шарпа, которая будет представ-
лена ниже.
13. 7. ПОРТФЕЛЬ, СОСТОЯЩИЙ ИЗ АКТИВА БЕЗ
РИСКА И РИСКОВАННОГО АКТИВА. КРЕДИТНЫЙ
И ЗАЕМНЫЙ ПОРТФЕЛИ
Рассмотрим портфель, состоящий из двух активов. Один из них не
несет риска, например, государственная облигация, другой - являет-
ся рискованным активом. Как уже было сказано, риск портфеля, со-
стоящего из двух активов, определяется по формуле
Поскольку один актив без риска, например актив В, то σв = 0 и
Cova, b = 0. Поэтому формула (174) для отмеченного случая прини-
мает вид:
где: А - рискованный актив.
Таким образом, риск портфеля, состоящего из актива без риска и
рискованного актива, равен произведению риска рискованного акти-
ва и его удельного веса в портфеле. Ожидаемая доходность портфеля
определяется уже по известной формуле (149). Графически зависи-
мость между ожидаемым риском и ожидаемой доходностью пред-
ставляет собой прямую линию, как показано на рис. 47. Изменяя уд.
вес актива А, инвестор может построить портфель с различными ха-
рактеристиками риска и доходности; все они располагаются на от-
резке АВ, и их риск пропорционален уд. весу актива А. Представлен-
ный случай можно рассматривать как покупку инвестором
рискованного актива А в сочетании с предоставление кредита
(покупка актива В), поскольку приобретение актива без риска есть не
что иное как кредитование эмитента. Поэтому портфели на отрезке
АВ, например, С, называют кредитными портфелями.
Инвестор может строить свою стратегию не только на основе пре-
доставления кредита, т. е. покупки актива без риска В, но и заимствуя
средства под более низкий процент, чем ожидаемая доходность ри-
скованного актива А, с целью приобретения на них актива А, чтобы
получить дополнительный доход1. В этом случае инвестор получает
возможность сформировать любой портфель, который располагается
на продолжении прямой АВ за пределами точки А, например, порт-
фель D (см. рис. 47). Он характеризуется более высоким риском и бо-
лее высокой ожидаемой доходностью. Поскольку для формирования
портфеля D инвестор занимает средства, то его именуют заемным
портфелем. Таким образом, все портфели, которые расположены на
продолжении прямой АВ выше точки А, называются заемными
портфелями.
Инвестор приобретает рискованный актив А на 100000 руб. за
счет собственных средств. Одновременно он занимает 50000 руб. под
10% и также инвестирует их в актив А. Ожидаемая доходность актива
А равна 15%, а риск 3%.
Ожидаемая доходность сформированного портфеля равна:
Допустим, что доходность актива А оказалась равной ее ожидаемой
доходности. Таким образом, инвестор, заняв дополнительные сред-
ства под 10% и разместив их в актив с доходностью 15%, получил до-
ходность на свои инвестиции в размере 17, 5%. Дополнительные 2, 5%
доходности возникли за счет эффекта финансового рычага, когда
средства занимались под 10%, а принесли 15%. Если реальная доход-
ность актива А оказалась на одно стандартное отклонение больше
ожидаемой доходности, т. е. 18% (15% + 3%), то доходность портфеля
составила:
Если инвестор займет 50000 руб. под 10% и инвестирует их в еще
более рискованный актив, например, с ожидаемой доходностью 30%.
то ожидаемая доходность такого портфеля составит:
Из приведенных примеров, следует, что формирование заемного
портфеля позволяет инвестору увеличить значение ожидаемой доход-
ности. В то же время следует не забывать, что заемный портфель мо-
жет принести инвестору и более низкую доходность и даже привести
к финансовым потерям, если реальная доходность рискованного ак-
1 Для настоящего момента мы полагаем, что инвестор может занимать и
предоставлять средства под ставку без риска. В последующем данное усло-
вие будет опущено.
тива окажется меньше ожидаемой. Допустим, что реальная доход-
ность актива А окажется на два стандартных отклонения меньше
ожидаемой, т. е. 9% (15% -2 3%), тогда реальная доходность портфеля
для составит:
Используя финансовый рычаг, теоретически инвестор может полу-
чить какое угодно высокое значение ожидаемой доходности. Такие
портфели располагаются на продолжении прямой АВ (см. рис. 47) вы-
ше точки А. Однако на практике вкладчик столкнется с двумя про-
блемами, которые ограничат ожидаемую доходность его стратегии.
Во-первых, с проблемой получения кредита в больших размерах, чем
позволяет его собственное финансовое положение. Во-вторых, зако-
нодательство устанавливает верхний предел использования заемных
средств при покупке ценных бумаг.
В заключение данного параграфа отметим, что в качестве риско-
ванного актива А можно представить не только актив, как некото-
рую единицу, например, акцию, облигацию и т. д., но и портфель, со-
стоящий из ряда других активов, который имеет соответствующие
параметры Е(r) и σ.
КРАТКИЕ ВЫВОДЫ
Портфель - это набор финансовых активов, которыми распола-
гает инвестор. Цель его формирования состоит в стремлении полу-
чить требуемый уровень ожидаемой доходности при более низком
значении ожидаемого риска.
Ожидаемая доходность портфеля оценивается как среднеарифме-
тическая взвешенная доходностей входящих в него активов. Риск ак-
тива (портфеля) определяется показателями стандартного отклонения
или дисперсии его доходности. Риск портфеля зависит от корреляции
доходностей входящих в него активов. Формируя портфель, следует
включать в него активы с наименьшими значениями корреляции до-
ходностей.
Доминирующий портфель - это портфель, который имеет самый
высокий уровень доходности для данного уровня риска или наи-
меньшее значение риска для данного значения доходности. Домини-
рующий портфель является лучшим выбором для инвестора из числа
всех возможных портфелей.
Эффективный набор портфелей - это набор доминирующих
портфелей. Его также называют эффективной границей.
Портфель, состоящий из рискованного актива и актива без риска,
именуют кредитным портфелем. Если вкладчик берет заем и инвести-
рует средства в рискованный актив, то он формирует заемный порт-
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Какую цель преследует инвестор при формировании портфеля?
2. Портфель состоит из трех акций. Удельный вес первой акции -
20%, второй - 30%, третьей - 50%. Ожидаемые доходности акций
соответственно равны 25%, 30% и 35%. Определите ожидаемую до-
ходность портфеля.
(Ответ: 32, 5%)
3. Какая величина служит для оценки риска портфеля?
4. В каком случае стандартное отклонение портфеля равно средне-
взвешенному стандартному отклонению доходности входящих в него
5. Почему объединение в портфель активов с корреляцией доход-
ности плюс один не уменьшает риска портфеля?
6. Что понимают под усреднением риска портфеля в случае объ-
единения в него активов с корреляцией доходности плюс один?
7. Ожидаемая доходность портфеля равна 30%, стандартное от-
клонение - 10%. Какую доходность и с какой вероятность может по-
лучить инвестор через год?
8. Портфель состоит из двух акций А и В с корреляцией доход-
ности минус один. Стандартное отклонение доходности акции А рав-
но 20%, акции В - 15%. Определите удельные веса акций в портфеле,
чтобы его риск был равен нулю.
(Ответ: акция А - 42, 86%, акция В - 57, 14%)
9. Портфель состоит из двух акций - А и В. Удельный вес акции
А равен 30%, ожидаемая доходность - 30%, стандартное отклонение
доходности - 25%. Удельный вес акции В равен 70%, ожидаемая до-
ходность - 20%, стандартное отклонение доходности - 15%. Коэф-
фициент корреляции доходности акций равен 40%. Определите ожи-
даемую: a) доходность и в) риск портфеля.
(Ответ: а) 23%; в) 15, 15%)
10. Доходность портфеля А 20%, стандартное отклонение - 15%;
портфеля В соответственно - 20% и 17%; портфеля С - 25% и 15%;
портфеля D - 30% и 20%. Определите, какие портфели являются до-
минирующими по отношению друг к другу?
11. Что такое кредитный и заемный портфели?
12. Доходность рискованного актива равна 30%, актива без риска
15%. Инвестор хотел бы сформировать кредитный портфель с до-
ходностью 18%. Определите, в каких пропорциях ему следует при-
обрести рискованный актив и актив без риска?
(Ответ: рискованный актив - 20%, актив без риска - 80%)
13. Доходнoсть рискованного актива равна 30%. Инвестор может
занять средства под 15% годовых. Определите, в какой пропорции от
стоимости портфеля инвестору следует занять средства, чтобы сфор-
мировать заемный портфель с ожидаемой доходностью 36%?
(Ответ: 40%)
14. Что такое эффективный набор портфелей?
1. Бригхем Ю., Тапенски Л. Финансовый менеджмент. - СПб.,
2. Ковалев В. В. Финансовый анализ. - М., 1997, гл. 5. 5, 5. 6.
3. Методы количественного финансового анализа (под ред. Брау-
на С. Дж., Крицмена М. П.) - М., 1996, гл. 7.
4. Первозванский А. А., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок:
расчет и риск. - М., 1994.
5. Финансовый менеджмент (под ред. Поляка Г. Б.) - М., 1997,
6. Шим Дж. К., Сигел Дж. Г. Финансовый менеджмент. - М., 1997,
7. Шарп У., Александер Г., Бейли Дж. Инвестиции. - М., 1997,
Ожидаемая доходность портфеля рассчитывается на основе ожидаемой доходности активов. Каким образом определяется ожидаемая доходность актива? В этом вопросе можно воспользоваться двумя приемами. Первый состоит в том, чтобы на основе прошлых данных статистики доходности актива рассчитать ее среднеарифметическое значение по формуле:
Данные о доходности актива за прошедшие 9 лет представлены в таблице:
Ожидаемая доходность актива в расчете на год равна:
Второй подход заключается в учете возможного будущего вероятностного распределения доходности актива. Ожидаемая доходность актива в этом случае определяется как среднеарифметическая взвешенная, где весами выступают вероятности каждого события. В сумме все возможные варианты событий должны составлять 100% вероятности. Формулу ожидаемой доходности актива можно записать в следующем виде:
Знаете ли Вы, что: таким широким разнообразием инвестиционных возможностей , какое предоставляет компания Альпари, не может больше похвастаться ни один Форекс-брокер.
